不定積分の公式


不定積分 \begin{equation} I_{n} = \int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{n}} dx \end{equation} の計算方法をまとめておく。ここで \(a\) は実数、\(n\) は自然数である。

まず \(n=1\) の場合は \begin{equation*} I_{1} = \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} dx \end{equation*} である。積分変数の変換 \begin{equation} x = a \tan \theta \5 \Bigl(-\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}\Bigr) \label{trans} \end{equation} を行うと( \(\theta\) の定義域には \(\pi\) の整数倍を足し引きする任意性があるが、連続となるような選び方であるならどれをとってもよい) \begin{equation*} dx = \frac{a}{\cos^{2}\theta} d\theta, \5 1 + \tan^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2}\theta} \end{equation*} より \begin{equation*} I_{1} = \frac{1}{a} \int d\theta = \frac{1}{a} \theta + C \5 C: \text{積分定数} \end{equation*} となるから \begin{equation} I_{1} = \frac{1}{a} \Atan \Bigl( \frac{x}{a} \Bigr) + C \end{equation} である。ただし \(\Atan\) は、式\eqref{trans}によって定まる \(\tan\) の一価の逆関数を表す。式\eqref{trans}には \(\pi\) の整数倍を足し引きする任意性があったが、不定積分なのでその任意性は積分定数へ吸収することができる。

\(n\ge2\) の場合は \(I_{n}\) についての漸化式から積分を計算できる。部分積分の公式 \begin{equation*} \int f(x) \1 g'(x) \, dx = f(x) \1 g(x) - \int f'(x) \1 g(x) \, dx \end{equation*} において、とくに \(g(x)=x\) と置くと \begin{equation*} \int f(x) \, dx = x \1 f(x) - \int x \1 f'(x) \, dx \end{equation*} という関係式が得られる。これを利用すると \begin{align*} I_{n} &= \int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{n}} dx \\[3pt] &= \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}} + \int \frac{2nx^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{n+1}} dx \\[3pt] &= \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}} + 2n \int \biggl( \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{n}} - \frac{a^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{n+1}} \biggr) dx \\[5pt] &= \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}} + 2n I_{n} - 2n a^{2} I_{n+1} \end{align*} となるので、漸化式 \begin{equation} I_{n+1} = \frac{1}{2na^{2}} \biggl( \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{n}} + ( 2n - 1 ) I_{n} \biggr) \end{equation} を得る。

\begin{align*} I_{2} &= \int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{2}} dx \\[3pt] &= \frac{1}{2a^{2}} \biggl( \frac{x}{x^{2}+a^{2}} + I_{1} \biggr) \\[3pt] &= \frac{x}{2a^{2}(x^{2}+a^{2})} + \frac{1}{2a^{3}} \Atan \Bigl( \frac{x}{a} \Bigr) + C \end{align*}
\begin{align*} I_{3} &= \int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{3}} dx \\[3pt] &= \frac{1}{4a^{2}} \biggl( \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{2}} + 3I_{2} \biggr) \\[3pt] &= \frac{x}{4a^{2}(x^{2}+a^{2})^{2}} + \frac{3x}{8a^{4}(x^{2}+a^{2})} + \frac{3}{8a^{5}} \Atan \Bigl( \frac{x}{a} \Bigr) + C \end{align*}
\begin{align*} I_{4} &= \int \frac{1}{(x^{2}+a^{2})^{4}} dx \\[3pt] &= \frac{1}{6a^{2}} \biggl( \frac{x}{(x^{2}+a^{2})^{3}} + 5I_{3} \biggr) \\[3pt] &= \frac{x}{6a^{2}(x^{2}+a^{2})^{3}} + \frac{5x}{24a^{4}(x^{2}+a^{2})^{2}} + \frac{15x}{48a^{6}(x^{2}+a^{2})} + \frac{15}{48a^{7}} \Atan \Bigl( \frac{x}{a} \Bigr) + C \end{align*}