曲率と曲率半径


曲率とは曲線や曲面がどれだけ曲がっているかを表す量である。ここでは平面上の曲線 \(y=f(x)\) の曲率を求めてみよう。

図1

まず最初に曲率半径 \(R\) という量を定義する。曲線上の点 \((a,f(a))\) における曲率半径 \(R\) とはその点近傍の曲線をもっともよく近似する円の半径である。ここで問題になるのは「曲線をもっともよく近似する円」がどのようなものであるかだが、もしその円の方程式を求めることができたならば曲率半径 \(R\) も直ちに知ることができるだろう。したがって曲率半径 \(R\) を求めるという問題は曲線を近似する円の方程式を求めるという問題に帰着する。そこでまず、その円(曲率円)の方程式を \begin{equation} ( x - X )^{2} + ( y - Y )^{2} = R^{\1 2} \label{eq} \end{equation} と置いてみよう。そしてこれを \(y\) について解いたものを \(F(x)\) と置くことにする: \begin{equation} y = F(x) = \begin{cases} Y + \sqrt{ R^{\1 2} - ( x - X )^{2} } \4 &( f''(x) \lt 0 ) \\[3pt] Y - \sqrt{ R^{\1 2} - ( x - X )^{2} } &( f''(x) \gt 0 ) \end{cases} \label{f} \end{equation} 曲線が上に凸か下に凸かで \(F(x)\) の形が変わるが、以下では \(F(x)\) のあらわな表式は使わないのであまり気にしなくてよい。なお \(f''(x)=0\) の場合についてはひとまず考えないことにする。

曲率円の方程式\eqref{eq}には円を特徴づける3つのパラメーター \(X,Y,R\) が含まれているから、曲率円に対して3つの条件を課せば円は一意的に定まる。その3つの条件はどのようなものにするのがよいだろう? まず第一に曲率円は問題としている曲線上の点 \((a,f(a))\) を通らないといけない。それは式で書くと \begin{equation} F(a) = f(a) \label{c1} \end{equation} である。またその点で曲率円の接線の傾きは \(f(x)\) の接線の傾きに一致しているべきである。これは式で書くと \begin{equation} F'(a) = f'(a) \label{c2} \end{equation} となる。これで2つの条件が得られた。曲線 \(f(x)\) を直線で近似するならばこれら2つの条件(点と接線の条件)だけで十分だが、今は円という曲線で近似したいのである。そして曲線の曲がり具合というのはその関数の2階微分によってもっとも大ざっぱに表現される。そこで \(F(x)\) の2階微分が点 \((a,f(a))\) において \(f(x)\) のそれに一致するという条件を課すことにしよう。すなわち \begin{equation} F''(a) = f''(a) \label{c3} \end{equation} とする。

これで3つの条件がそろったので、あとはこの連立方程式を解いて \(X,Y\) および曲率半径 \(R\) を求めればよい。まず曲率円の方程式で \(x=a\) と置き、そこへ条件\eqref{c1}を適用してみよう: \begin{equation} ( a - X )^{2} + ( f(a) - Y )^{2} = R^{\1 2} \label{eq2} \end{equation} 次に条件\eqref{c2}を使うために式\eqref{eq}の両辺を \(x\) で微分する。\(dy/dx=F'(x)\) であることに注意すると \begin{equation} ( x - X ) + ( y - Y ) \, F'(x) = 0 \label{eq3} \end{equation} が得られるから、この式で \(x=a\) と置いて条件\eqref{c1}と\eqref{c2}を代入し \begin{equation} ( a - X ) + ( f(a) - Y ) \, f'(a) = 0 \label{eq4} \end{equation} を得る。最後に、条件\eqref{c3}を使うために式\eqref{eq3}の両辺をもう一度 \(x\) で微分してみよう: \begin{equation*} 1 + F'(x)^{\,2} + ( y - Y ) \, F''(x) = 0 \end{equation*} そして \(x=a\) を代入して条件\eqref{c1}から\eqref{c3}までをすべて使う。すると \begin{equation*} 1 + f'(a)^{\,2} + ( f(a) - Y ) \, f''(a) = 0 \end{equation*} が得られる。この式より \(Y\) は直ちに求まる: \begin{equation*} Y = f(a) + \frac{1+f'(a)^{\,2}}{f''(a)} \end{equation*} また \begin{equation} ( f(a) - Y ) \, f''(a) = - \bigl( \, 1 + f'(a)^{\,2} \, \bigr) \label{eq5} \end{equation} であるから、これを\eqref{eq4}に代入して \begin{equation} ( a - X ) \, f''(a) = \bigl( \, 1 + f'(a)^{\,2} \, \bigr) \, f'(a) \label{eq6} \end{equation} を得る。これを \(X\) について解けば \begin{equation*} X = a - \frac{\bigl(\,1+f'(a)^{\,2}\,\bigr)\,f'(a)}{f''(a)} \end{equation*} である。最後に式\eqref{eq5}と\eqref{eq6}を、式\eqref{eq2}へ代入すると \begin{equation*} \bigl( \, 1 + f'(a)^{\,2} \, \bigr)^{2} f'(a)^{\,2} + \bigl( \, 1 + f'(a)^{\,2} \, \bigr)^{2} = R^{\1 2} \, f''(a)^{\,2} \end{equation*} となるから、これを \(R\) について解いて \begin{equation*} R = \frac{\bigl(\,1+f'(a)^{2}\,\bigr)^{3/2}}{|f''(a)|} \end{equation*} を得る。以上まとめると \begin{align} X &= x - \frac{\bigl(\,1+f'(x)^{\,2}\,\bigl)\,f'(x)}{f''(x)} \\[8pt] Y &= f(x) + \frac{1+f'(x)^{\,2}}{f''(x)} \\[8pt] &\3 R = \frac{\bigl(\,1+f'(x)^{\,2}\,\bigr)^{3/2}}{|f''(x)|} \end{align} となる。ただし \(a\) を \(x\) に書き換えた。

これで曲率半径 \(R\) が求まった。実際に図に書いてみるとわかるが、曲率半径が大きいほど曲線の曲がり具合は小さくなるし、逆に曲率半径が小さいほど曲線はその点で大きく曲がっている。したがって、曲率半径の逆数は、曲線の曲がり具合を表す量と見ることができ、曲線 \(y=f(x)\) の曲率 \(\kappa\) を次のように定義してもよいだろう: \begin{equation} \kappa = \frac{f''(x)}{\bigl(\,1+f'(x)^{\,2}\,\bigr)^{3/2}} \end{equation} ここで曲率 \(\kappa\) は曲率半径 \(R\) の単純な逆数ではなく \(f''(x)\) にかかる絶対値を外したものとした。これにより曲率 \(\kappa\) は \(f''(x)\) と同じ符号をもつことになり、曲線が下に凸である点では \(\kappa\gt0\)、上に凸である点では \(\kappa\lt0\) となる。また、とくに \(f''(x)=0\) である点においては \(\kappa=0\) となる。そのため直線の曲率や、曲線の変曲点における曲率は \(0\) である。なお \(f''(x)=0\) の場合には曲率半径を \(R=\infty\) と定義することにする。

 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}ax^{2}\) の曲率は \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{2} ax^{2}, \4 f'(x) = ax, \4 f''(x) = a \end{equation*} より \begin{equation*} \kappa = \frac{a}{(1+a^{2}x^{2})^{3/2}} \end{equation*} となる。
 \(y=-\ln(\cos x)\ \ \bigl(\,-\frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{\pi}{2}\,\bigr)\) の曲率は \begin{equation*} f(x) = -\ln ( \cos x ), \4 f'(x) = \tan x, \4 f''(x) = \frac{1}{\cos^{2}x} \end{equation*} より \begin{equation*} \kappa = \frac{1}{\cos^{2}x} \frac{1}{\bigl(\,1+\tan^{2}x\bigr)^{3/2}} = \cos x \end{equation*} となる。