ルーメン・カンデラ・ルクス

放射束・放射強度・放射照度

「ルーメン」「カンデラ」「ルクス」とは、光の明るさを表す物理量の「光束」「光度」「照度」のSI単位である。これら3つの物理量の説明を行う前に、まずは「放射束」「放射強度」「放射照度」という量を紹介しよう。放射束、放射強度、放射照度は光の明るさではなく、光のエネルギーに関連する物理量である。人の感覚に依存する「明るさ」よりも「エネルギー」のほうが物理的にはわかりやすい。

ランプなどの光源から電磁波（光）が放射されている系を考える。「放射束」とは、光源外にある面を考えたときに、その面全体を通過する単位時間あたりの電磁波のエネルギーを表す量である。とくに光源全体を取り囲む閉曲面を考えたときの放射束を「全放射束」とよぶ。放射束は単位時間あたりのエネルギーを表す量だからそのSI単位はワット（\(\mr{W}\)）である。以下では、この放射束（\(\,\varPhi\) という記号で表す）が基本となる。

「放射強度」とは、点状と見なせる光源からある方向へ放射される単位立体角あたりの放射束を表す量である。例えば、点光源から立体角 \(\varOmega\) の範囲に放射束 \(\varPhi\) で光が一様に放射されている場合、放射強度 \(I\) は \begin{equation} I = \frac{\varPhi}{\varOmega} \label{eq1} \end{equation} となる。しかし、一般には放射強度は光源からの方向に応じて変化する（例えば、懐中電灯の光は照射範囲の中心付近で最も強く、中心から離れるにつれて弱くなる）。そこで一般には、放射束 \(\varPhi\) が近似的に一定と見なせるような微小立体角 \(\varOmega\) の範囲を考え、その上で式\eqref{eq1}と同様に放射強度 \(I\) を計算することになる。これは数学的に、式\eqref{eq1}で \(\varOmega\to0\) の極限を取ることに相当している： \begin{equation} I = \lim_{\varOmega\to0} \1 \frac{\varPhi}{\varOmega} \label{eq2} \end{equation} \(\varOmega\to0\) で分母が \(0\) になってしまうが、このとき明らかに \(\varPhi\to0\) でもあり、これらの比は有限の一定値（＝放射強度）へ収束する。この定義より放射強度のSI単位はワット毎ステラジアン（\(\mr{W}/\mr{sr}\)）になる。なお、式\eqref{eq2}は次のように表現されることがある： \begin{equation} I = \frac{d\varPhi}{d\varOmega} \end{equation} これは式\eqref{eq2}が形式的に次のように書けるためだと思う： \begin{equation} I = \lim_{\varOmega\to0} \1 \frac{\varPhi(\varOmega)-\varPhi(0)}{\varOmega-0} = \varPhi'(0) \end{equation}

「放射照度」とは、光源外のある場所へ照射される単位面積当たりの放射束を表す量である。例えば、表面積 \(S\) をもつ物体の表面に放射束 \(\varPhi\) で一様に光が照射されている場合、その物体表面での放射照度 \(E\) は \begin{equation} E = \frac{\varPhi}{S} \end{equation} になる。放射強度を考えた時と同様に、放射照度 \(E\) も一般には測定位置によって大きさが変わるので、一般の場合には光の照射位置に微小面積 \(S\) を考えて \(S\to0\) の極限を取る必要がある： \begin{equation} E = \lim_{S\to0} \1 \frac{\varPhi}{S} \end{equation} この定義より放射照度のSI単位はワット毎平方メートル（\(\mr{W}/\mr{m}^{2}\)）になる。放射束を磁束に対応させると、放射照度は磁束密度に対応する量と言えるだろう。なお、放射強度 \(I\) は光源からの距離によらず方向だけで決まる量であったのだが、放射照度 \(E\) のほうは光源からの距離にも依存する。例えば、机の表面積が同じであっても、光源に近いほどその机の表面全体が受け取る電磁波のエネルギーは大きい（より直感的な表現を使うと、光源に近いほど机の上は明るい）。光源を点光源と見なせる場合（光源から十分に離れている場合）には、光放射のエネルギー密度が距離の2乗に反比例するため（逆2乗則）、放射照度 \(E\) の大きさもまた距離の2乗に反比例することになる。

以上が放射束・放射強度・放射照度の定義となるが、次の節で光束・光度・照度を説明する都合上、このページでは光源からの電磁波の放射をイメージしてこれらの物理量を定義した。しかし、ここまでの話は、エネルギーを放射状に発散する物理現象であれば電磁波の放射以外にも適用できる議論になっていることに注意しよう（音波や電流、流体の放出など）。

光束・光度・照度

光束・光度・照度は前節で見た放射束・放射強度・放射照度に対応する物理量である。放射束・放射強度・放射照度は光の「エネルギー」を測る量であったが、光束・光度・照度のほうは光の「明るさ」を測る量になる。放射に伴うエネルギーを測る量を総称して「放射量」というが、これに対して光の明るさを測る量を「測光量」という。

ところで光の「明るさ」とは何だろう？ 明るさとはヒトの目が感じ取った電磁波のある種の「強度」のことである。しかしながら、この「強度」は電磁波の放射強度（エネルギー）にはそのまま対応していないようである。例えば、同じ放射強度をもった光源であっても、それが可視光を放射しているか、赤外線や紫外線を放射しているかで我々の目の感じ取り方は違う。可視光を放射する光源を見た場合には、その放射強度に応じて「明るい」や「暗い」と明るさを感じ取ることができるだろうが、赤外線や紫外線を放射する光源を見た場合は、その放射強度によらずいつも暗い（光っていない）と感じるはずだ。また、同じ放射強度の可視光であってもヒトの目は赤色や青色の光より緑色の光をより明るく感じるらしい。すなわち、光の「明るさ」は放射強度だけでなく電磁波の波長（あるいは振動数）にも依存する。

明るい場所において、光の波長 \(\lambda\) とヒトの目が感じ取る明るさの関係は概ね上のグラフのようになる。これを比視感度曲線（または標準比視感度曲線）という。グラフ縦軸の比視感度 \(V(\lambda)\) とは、同じエネルギーの単色光を見たときに、多くの人が最も明るいと感じる波長 \(555\,\mr{nm}\) における明るさを \(1\) として、各波長ごとに光の明るさの相対値を示したものである。例えば、同じエネルギーの単色光放射であっても、波長 \(555\,\mr{nm}\) の光（黄緑色）に比べて \(610\,\mr{nm}\) 付近の光（橙色）を見たときには明るさが半分程度になってしまう。もちろんこの感じ方には個人差があるのだが、比視感度曲線は多くの人の平均的特性に基づいてただ1つに決められている。これにより、以下で述べる光束や光度、照度といった測光量も1つに定まるわけである。

さて、ここで「光束」を定義しよう。振動数 \(540\times10^{12}\,\mr{Hz}\)（標準空気中の波長で表すと \(\lambda_{\mr{cd}}\simeq555.017\,\mr{nm}\)）の単色光放射の放射束を \(\varPhi\) とするとき、この振動数における光束 \(\varPhi_{\mr{v}}\) を \begin{equation} \varPhi_{\mr{v}} = K_{\mr{cd}} \, \varPhi \end{equation} で定義する（以下、測光量には添え字 \(\mr{v}\) を付けることにする）。ここで \(K_{\mr{cd}}\) は「視感効果度」とよばれる定数で、その値はSIで \begin{equation} K_{\mr{cd}} = 683\ \mr{lm}/\mr{W} \end{equation} と定められている（この \(683\) という数字は誤差を含まない正確な値（定義値）である）。放射束 \(\varPhi\) のSI単位はワット（\(\mr{W}\)）であったから、光束 \(\varPhi_{\mr{v}}\) の単位はSIでルーメン（記号：\(\mr{lm}\)）とよばれる単位になる。この振動数において、視感効果度 \(K_{\mr{cd}}\) は光のエネルギー（\(\mr{W}\)）と明るさ（\(\mr{lm}\)）を結びつける比例定数になっているわけである。例えば、振動数 \(540\times10^{12}\,\mr{Hz}\) の単色光源が発する全放射束が \(\varPhi=1\,\mr{W}\) であるとき、この光源の全光束は \(\varPhi_{\mr{v}}=683\,\mr{lm}\) になる。まだ今のところは振動数 \(540\times10^{12}\,\mr{Hz}\) の単色光に対してしか光束を定義していないことに注意しよう。それ以外の振動数（波長）の単色光に対しては、上のグラフに示した比視感度 \(V(\lambda)\) を掛けることで光束が定義される： \begin{align} \varPhi_{\mr{v}} &= K_{m} V(\lambda) \ \varPhi \\[5pt] &= K(\lambda) \, \varPhi \end{align} ここで \begin{equation} K_{m} = 683.002\ \mr{lm}/\mr{W} \3 ( \simeq K_{\mr{cd}} ) \end{equation} は「最大視感度」とよばれる定数で、また \begin{equation} K(\lambda) = K_{m} V(\lambda) \end{equation} を「視感度」または「分光視感効果度」という。最大視感度 \(K_{m}\) の値が \(K_{\mr{cd}}\) から僅かにずれているのは、振動数 \(540\times10^{12}\,\mr{Hz}\) に対応する波長 \(\lambda_{\mr{cd}}\simeq555.017\,\mr{nm}\) と、比視感度 \(V(\lambda)\) が最大になる波長 \(\lambda=555\,\mr{nm}\) が若干ずれているためである： \begin{align} K(\lambda_{\mr{cd}}) &= K_{\mr{cd}} = 683\ \mr{lm}/\mr{W} \\[5pt] K(555\,\mr{nm}) &= K_{m} \simeq 683.002\ \mr{lm}/\mr{W} \end{align} しかしこの差はごく僅かなので、実用上は \(K_{m}=K_{\mr{cd}}\) と考えて差し支えない。さて、単色光でないより一般的な場合、すなわち様々な波長の光の重ね合わせとなっている電磁波に対して光束を定義しよう。そのために、まず放射束 \(\varPhi\) をスペクトルに分解して \begin{equation} \varPhi = \int_{0}^{\infty} \phi(\lambda) \, d\lambda \end{equation} と表現する。放射束 \(\varPhi\) の分光スペクトル \(\phi(\lambda)\) を「分光放射束」という。分光放射束の単位は \(\mr{W}/\mr{m}\) である。この分光放射束を使うと、視感度 \(K(\lambda)\) がほぼ一定とみなせるような波長範囲 \(d\lambda\) において、光束が \(d\varPhi_{\mr{v}}=K(\lambda)\,\phi(\lambda)\,d\lambda\) と書き表せるから、全波長における光束はその積分 \begin{align} \varPhi_{\mr{v}} &= \int_{0}^{\infty} K(\lambda) \, \phi(\lambda) \, d\lambda \\[3pt] &= K_{m} \int_{0}^{\infty} V(\lambda) \, \phi(\lambda) \, d\lambda \end{align} で計算されることになる。

光束が定義されてしまえば、あとは放射強度や放射照度と同様に「光度」や「照度」が定義できる。光度 \(I_{\mr{v}}\) は単位立体角あたりの光束を表す量で \begin{equation} I_{\mr{v}} = \lim_{\varOmega\to0} \frac{\varPhi_{\mr{v}}}{\varOmega} \end{equation} と定義される。これより光度のSI単位は \(\mr{lm}/\mr{sr}\) になるが、これには特別にカンデラ（記号：\(\mr{cd}\)）という呼称が与えられている。また、照度 \(E_{\mr{v}}\) は単位面積当たりの光束を表す量で \begin{equation} E_{\mr{v}} = \lim_{S\to0} \1 \frac{\varPhi_{\mr{v}}}{S} \end{equation} と定義される。照度のSI単位は \(\mr{lm}/\mr{m}^{2}\) になるが、これにも特別にルクス（記号：\(\mr{lx}\)）という呼称が与えられている。

何か光源が与えられた時、その「明るさ」という言葉が示すイメージに最も近い測光量は光度（カンデラ）になると思う。そして、様々な方向における光源の明るさの総量が光束（ルーメン）というイメージだ。また、照度（ルクス）は光源自体の明るさを表すというよりも、光源に照らされたある場所の明るさを示すために使われる量である。

付録　カンデラとSI基本単位

カンデラはSI基本単位の1つである。SI基本単位とは下の表に示す7つのことで、これら基本単位のべき乗の積としてその他の組立単位が構築される。前節までの議論から分かるように、カンデラよりもルーメンを基本単位とするほうが物理的にはより自然なのだが、ヒトの目で光源を直視したときに感じる「明るさ」という感覚により直接的に対応している量が光度であり、カンデラという単位が定義されるよりも前からの歴史的な経緯もあって、現在でもカンデラがSI基本単位の1つに指定されているようである。

現在のSIでは、上の7つの基本量の具体的な大きさが下の表に示す7つの定義定数から決まる仕組みとなっている。例えば「\(1\,\mr{m}\)」という長さは、真空中を光が \(1/299792458\) 秒間で進んだ距離を測ることによって決定される。ここで注意したいのは7つの定義定数が誤差を含まない正確な値として定義されていることである（例えば光速は \(\mr{m}/\mr{s}\) 単位で9桁の整数になるし、アボガドロ定数は24桁の整数である）。実は、7つの基本量の大きさを7つの定義定数から決定する現行のSIが施行されたのは比較的最近のことで（2019年5月20日）、それ以前は、例えば「\(1\,\mr{kg}\)」という質量が「国際キログラム原器」という金属の塊の質量と等しいものとして定義されていた。ところがキログラム原器の質量は一定不変のものではなく、年々わずかに変動していたというから問題だったわけである。現在の質量の定義では、測定技術の進歩によって \(1\,\mr{kg}\) という質量の確度が増すことはあっても、キログラム原器の経時変化によって \(1\,\mr{kg}\) の大きさが増えたり減ったりする（\(\,1\,\mr{kg}\,\)の定義が変わる）ようなことはない。

\(1\,\mr{cd}\)という光度（または \(1\,\mr{lm}\) の光束）の大きさを定めているのが上の表の視感効果度 \(K_{\mr{cd}}\) である。何か意味深に見える「\(683\)」という3桁の整数だが、実はこの数字にあまり特別な意味はない。視感効果度のこの大きさはカンデラの元になった燭（しょく）という単位に由来している。燭はかつて使われていた光度の単位で、標準的なロウソク1本分の明るさを1燭と定めていた。その後により明確な光度の単位が必要となってカンデラが作られたのだが、その時に \(1\,\mr{cd}\) の光度が1燭とほぼ同じ明るさとなるように定義されることになった（ただし現在とは異なる方法で）。しばらくした後に再度カンデラの定義が見直され、そこでは現在と同じ視感効果度の値を固定する方法が採用されたが、その際に \(K_{\mr{cd}}=683\) としておけばうまく \(1\,\mr{cd}\) の大きさが変わらなかったのである（そのため現在でもロウソク1本の光度はおおよそ \(1\,\mr{cd}\) になる）。その他の6つの定義定数が上の表のような値に固定されているのも同様の理由による。すなわち、定義定数の値を固定することによって新しくなった \(1\,\mr{m}\) や \(1\,\mr{kg}\) の大きさが、従前の \(1\,\mr{m}\) や \(1\,\mr{kg}\) から（その時代の測定誤差の範囲内で）変わらないように上記のような数値が採用されたことになる。

ところで、光度という量は他の6つの基本量と比較して少し奇異な量に感じられるのではないだろうか。というのも、誰にとっても大きさが変わることのない他のユニバーサルな量たちとは違い、光度（明るさ）の感じ方には個人差がある。定義に基づいて測定され、計算された光度の値と、実際にある人が感覚的に取得した「明るさ」という情報には、もしかしたら大きな乖離があるかもしれない。測光量のようにヒトの感覚や知覚の平均的特性に基づいて人工的に定めた物理量のことを一般に「心理物理量」という。心理物理量のSI単位としてはカンデラやルーメン、ルクスのほかにもシーベルト（記号：\(\mr{Sv}\)）という単位がある。シーベルトは放射線被曝の生物学的影響の大きさ（線量当量または等価線量）を測る単位である。SIでは7つの基本単位に加えて下の表に示す22の組立単位に固有の名称と記号が与えられており、ルーメンやルクスはこの22個の中に含まれる。