楕円偏光


偏光とは、電場や磁場がある特定の方向にのみ振動している電磁波(光)のことである。太陽やランプが発する自然光は、あらゆる方向に振動する電磁波が混合したものであるが、それを偏光板に通すと偏光した光を取り出すことができる。素朴に「偏光」と言ったときには、このような直線偏光を指すことが多いが、より一般的には、進行方向と振動数を同一とする複数の直線偏光を重ね合わせたものも偏光と呼ばれる(楕円偏光)。

電荷や電流が存在しない空間で、マクスウェル方程式は次のような波動解(電磁波)をもつ: \begin{equation} \bm{E} = \bm{A} \sin(kz-\omega t+\alpha) \label{eq} \end{equation} この解は空間の \(z\) 軸方向へ減衰することなく伝わっていく電場の波を表しており、定数ベクトル \(\bm{A}\) と定数 \(k,\,\omega,\,\alpha\) はそれぞれ波の振幅、波数、角振動数、初期位相を意味する。マクスウェル方程式は電磁場に関する方程式なので、その解には電場 \(\bm{E}\) と共に磁場 \(\bm{H}\) も現れるが、磁場は電場に対して常に直交しており、その方向をすぐに知ることができるため、この先では電場のみを取り扱うことにしよう。今は \(\bm{A}\) を定数ベクトルにとっているから、実は電磁波\eqref{eq}はある特定の方向にのみ電場が振動する直線偏光を表す式になっている。電磁波は横波であるから、波の進行方向を \(z\) 軸方向にとると、振幅ベクトル \(\bm{A}\) は常に \(xy\)-平面と平行な面内にある。さて、ここで楕円偏光を考えるために、\(k\) と \(\omega\) を共通とする複数の直線偏光の重ね合わせを作ってみる: \begin{equation} \bm{E} = \sum_{i} \bm{A}_{i} \sin(kz-\omega t+\alpha_{i}) \end{equation} 電磁波に対するマクスウェル方程式は線形同次微分方程式になっているので、このような解の重ね合わせもやはりマクスウェル方程式の解である。三角関数の加法定理を使って上の式を展開すると \begin{equation*} \bm{E} = \Bigl( \sum_{i} \bm{A}_{i} \cos \alpha_{i} \Bigr) \sin(kz-\omega t) + \Bigl( \sum_{i} \bm{A}_{i} \sin \alpha_{i} \Bigr) \cos(kz-\omega t) \end{equation*} になるが、これはベクトルの成分に分けて書けば \begin{align*} E_{x} &= \Bigl( \sum_{i} A_{ix} \cos \alpha_{i} \Bigr) \sin(kz-\omega t) + \Bigl( \sum_{i} A_{ix} \sin \alpha_{i} \Bigr) \cos(kz-\omega t) \\ E_{y} &= \Bigl( \sum_{i} A_{iy} \cos \alpha_{i} \Bigr) \sin(kz-\omega t) + \Bigl( \sum_{i} A_{iy} \sin \alpha_{i} \Bigr) \cos(kz-\omega t) \end{align*} である。この式を見やすくするために、新しい記号 \(A_{x},\,\delta_{x},\,A_{y},\,\delta_{y}\) をそれぞれ \begin{align} &A_{x} = \sqrt{ \Bigl( \sum_{i} A_{ix} \cos \alpha_{i} \Bigr)^{2} + \Bigl( \sum_{i} A_{ix} \sin \alpha_{i} \Bigr)^{2} }, \5 \tan \delta_{x} = \frac{\displaystyle\sum A_{ix}\sin\alpha_{i}}{\displaystyle\sum A_{ix}\cos\alpha_{i}} \\[8pt] &A_{y} = \sqrt{ \Bigl( \sum_{i} A_{iy} \cos \alpha_{i} \Bigr)^{2} + \Bigl( \sum_{i} A_{iy} \sin \alpha_{i} \Bigr)^{2} }, \5 \tan \delta_{y} = \frac{\displaystyle\sum A_{iy}\sin\alpha_{i}}{\displaystyle\sum A_{iy}\cos\alpha_{i}} \end{align} で定義しよう。これにより \begin{align} E_{x} &= A_{x} \sin(kz-\omega t+\delta_{x}) \label{eq2} \\[5pt] E_{y} &= A_{y} \sin(kz-\omega t+\delta_{y}) \label{eq3} \end{align} となる。この2つの式から \(kz-\omega t\) を消去したい。そのために三角関数の加法定理を使って式\eqref{eq3}を \begin{align*} \frac{E_{y}}{A_{y}} &= \sin \bigl( (kz-\omega t+\delta_{x})+(\delta_{y}-\delta_{x}) \bigr) \notag \\ &= \sin(kz-\omega t+\delta_{x}) \cos(\delta_{y}-\delta_{x}) + \cos(kz-\omega t+\delta_{x}) \sin(\delta_{y}-\delta_{x}) \end{align*} という形に書き換える。これに式\eqref{eq2}を代入すると \begin{equation*} \frac{E_{y}}{A_{y}} - \frac{E_{x}}{A_{x}} \cos(\delta_{y}-\delta_{x}) = \cos(kz-\omega t+\delta_{x}) \sin(\delta_{y}-\delta_{x}) \end{equation*} となるが、この両辺を2乗してもう一度式\eqref{eq2}を代入すれば \begin{align*} \frac{E_{y}^{2}}{A_{y}^{2}} - \frac{2E_{x}E_{y}}{A_{x}A_{y}} \cos(\delta_{y}-\delta_{x}) + \frac{E_{x}^{2}}{A_{x}^{2}} \cos^{2}(\delta_{y}-\delta_{x}) &= \Bigl( 1 - \sin^{2}(kz-\omega t+\delta_{x}) \Bigr) \sin^{2}(\delta_{y}-\delta_{x}) \\ &= \biggl( 1 - \frac{E_{x}^{2}}{A_{x}^{2}} \biggr) \sin^{2}(\delta_{y}-\delta_{x}) \end{align*} になるので、最終的に \begin{equation} \frac{E_{x}^{2}}{A_{x}^{2}} + \frac{E_{y}^{2}}{A_{y}^{2}} - \frac{2E_{x}E_{y}}{A_{x}A_{y}} \, \cos(\delta_{y}-\delta_{x}) = \sin^{2}(\delta_{y}-\delta_{x}) \label{3b-3} \end{equation} という式を得る。この式は \(kz-\omega t\) をパラメーターとして変化させたとき、電場ベクトル \(\bm{E}=(E_{x},E_{y},0)\) の先端の描く軌跡が楕円となることを意味している(一般に、2次曲線 \(ax^{2}+bxy+cy^{2}=d\) が表す図形は、判別式 \(b^{2}-4ac\lt0\) のときに楕円となることが知られている)。このため、直線偏光の重ね合わせを楕円偏光と呼ぶのである。なお、とくに \(\delta_{y}-\delta_{x}\) が \(\pi/2\) の奇数倍で、かつ \(A_{x}=A_{y}=A\) である場合には \begin{equation} E_{x}^{2} + E_{y}^{2} = A^{2} \end{equation} となって電場 \(\bm{E}\) が円軌道を描くので、これを円偏光という。また、\(\delta_{y}-\delta_{x}\) が \(\pi\) の整数倍となるような場合は \begin{equation} \biggl( \frac{E_{x}}{A_{x}} \pm \frac{E_{y}}{A_{y}} \biggr)^{2} = 0 \4 \text{あるいは} \4 E_{y} = \pm \frac{A_{y}}{A_x} E_{x} \end{equation} になるので相変わらず直線偏光である。