三角関数の公式


よく使う三角関数関係の公式や積分をこのページにメモしておく。

加法定理

\begin{align} &\sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\[5pt] &\cos ( \alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{align} 加法定理は指数関数の性質 \begin{equation*} e^{i(\alpha+\beta)} = e^{i\alpha} e^{i\beta} \end{equation*} を覚えていれば簡単に導くことができる。オイラーの公式を使って右辺を展開すると \begin{align*} e^{i\alpha} e^{i\beta} &= ( \cos \alpha + i \sin \alpha ) ( \cos \beta + i \sin \beta ) \\[3pt] &= ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) + i \, ( \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta ) \end{align*} となるが、実部は \(\cos(\alpha+\beta)\) に、虚部は \(\sin(\alpha+\beta)\) に等しいことより加法定理を得る。

倍角公式

\begin{align} \sin 2\theta \1 &= 2 \sin \theta \cos \theta \label{s1} \\[5pt] \cos 2\theta &= \cos^{2} \theta - \sin^{2} \theta \notag \\ &= 2 \cos^{2} \theta - 1 \label{c1} = 1 - 2 \sin^{2} \theta \end{align} 導出は加法定理において \(\alpha=\beta=\theta\) と置けばよい。

半角公式

\begin{align} &\sin^{2} \Bigl( \frac{\theta}{2} \Bigr) = \frac{1}{2} ( 1 - \cos \theta ) \label{s2} \\[8pt] &\cos^{2} \Bigl( \frac{\theta}{2} \Bigr) = \frac{1}{2} ( 1 + \cos \theta ) \label{c2} \end{align} 導出は式\eqref{c1}で \(\theta \to \theta/2\) と置き換えればよい。

和積公式

\begin{align} &\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \Bigl( \frac{\alpha+\beta}{2} \Bigr) \cos \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) \label{s3} \\[5pt] &\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \Bigl( \frac{\alpha+\beta}{2} \Bigr) \sin \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) \label{s4} \\[5pt] &\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \Bigl( \frac{\alpha+\beta}{2} \Bigr) \cos \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) \label{c3} \\[5pt] &\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \Bigl( \frac{\alpha+\beta}{2} \Bigr) \sin \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) \label{c4} \end{align} 公式を導出するために、2つの指数関数の和 \(e^{i\alpha}+e^{i\beta}\) を、\(\alpha\) と \(\beta\) の入れ替えに関して対称な指数 \(e^{i(\alpha+\beta)/2}\) と反対称な指数 \(e^{i(\alpha-\beta)/2}\) によって書き表してみよう: \begin{align*} e^{i\alpha} + e^{i\beta} &= e^{i(\alpha+\beta)/2} \, \bigl( e^{i(\alpha-\beta)/2} + e^{-i(\alpha-\beta)/2} \bigr) \\[3pt] &= 2 \, e^{i(\alpha+\beta)/2} \cos \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) \\[3pt] &= 2 \cos \Bigl( \frac{\alpha+\beta}{2} \Bigr) \cos \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) + 2i \sin \Bigl( \frac{\alpha+\beta}{2} \Bigr) \cos \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) \end{align*} この式の実部は \(\cos\alpha+\cos\beta\) に、虚部は \(\sin\alpha+\sin\beta\) に等しいことより式\eqref{s3}と式\eqref{c3}を得る。同様に \(e^{i\alpha}-e^{i\beta}\) を変形すると \begin{align*} e^{i\alpha} - e^{i\beta} &= 2i \, e^{i(\alpha+\beta)/2} \sin \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) \\[3pt] &= -2 \sin \Bigl( \frac{\alpha+\beta}{2} \Bigr) \sin \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) + 2i \cos \Bigl( \frac{\alpha+\beta}{2} \Bigr) \sin \Bigl( \frac{\alpha-\beta}{2} \Bigr) \end{align*} となるが、実部は \(\cos\alpha-\cos\beta\) に、虚部は \(\sin\alpha-\sin\beta\) に等しいのであるから、今度は式\eqref{s4}と式\eqref{c4}が得られる。

積和公式

\begin{align} &\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \bigl( -\cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) \bigr) \\[3pt] &\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \bigl( \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) \bigr) \\[3pt] &\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \bigl( \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) \bigr) \\[3pt] &\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \bigl( \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) \bigr) \end{align} 導出は、和積公式において \(\bigl(\frac{\alpha+\beta}{2}\bigr)\to\alpha,\ \bigl(\frac{\alpha-\beta}{2}\bigr)\to\beta\) という置き換えを行えばよい。(加法定理の公式を足したり引いたりすることでも導ける。)

不定積分

\begin{align} &\int \sin^{2} x \, dx = \frac{1}{2} \int ( 1 - \cos 2x ) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin 2x + C \label{s5} \\[8pt] &\int \cos^{2} x \, dx = \frac{1}{2} \int ( 1 + \cos 2x ) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin 2x + C \label{c5} \end{align} ただし式\eqref{s2}と\eqref{c2}を用いた。 \begin{align} \int \sin^{3} x \, dx &= \int ( 1 - \cos^{2} x ) \sin x \, dx \notag \\[3pt] &= \int ( -1 + \cos^{2} x ) \, d(\cos x) \notag \\[3pt] &= -\cos x + \frac{1}{3} \cos^{3} x + C \\[8pt] \int \cos^{3} x \, dx &= \int ( 1 - \sin^{2} x ) \cos x \, dx \notag \\[3pt] &= \int ( 1 - \sin^{2} x ) \, d(\sin x) \notag \\[3pt] &= \sin x - \frac{1}{3} \sin^{3} x + C \end{align} 式\eqref{s2}と\eqref{c2}および上で求めた積分\eqref{s5}と\eqref{c5}を用いると \begin{align} \int \sin^{4} x \, dx &= \frac{1}{4} \int ( 1 - \cos 2x )^{2} \, dx \notag \\[3pt] &= \frac{1}{8} \int ( 1 - 2\cos 2x + \cos^{2} 2x ) \, d(2x) \notag \\[3pt] &= \frac{1}{8} \Bigl( 2x - 2\sin 2x + x + \frac{1}{4} \sin 4x \Bigr) + C \notag \\[3pt] &= \frac{3}{8} x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C \\[15pt] \int \cos^{4} x \, dx &= \frac{1}{4} \int ( 1 + \cos 2x )^{2} \, dx \notag \\[3pt] &= \frac{1}{8} \int ( 1 + 2\cos 2x + \cos^{2} 2x ) \, d(2x) \notag \\[3pt] &= \frac{1}{8} \Bigl( 2x + 2\sin 2x + x + \frac{1}{4} \sin 4x \Bigr) + C \notag \\[3pt] &= \frac{3}{8} x + \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{1}{32} \sin 4x + C \end{align}

定積分

\begin{align} &\int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = \int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 1 \\[8pt] &\int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx = \int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \cos^{2} x \, dx = \frac{\pi}{4} \\[8pt] &\int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin^{3} x \, dx = \int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \cos^{3} x \, dx = \frac{2}{3} \\[8pt] &\int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin^{4} x \, dx = \int_{0}^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \cos^{4} x \, dx = \frac{3\pi}{16} \end{align}

不定積分2

\begin{align} &\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C \\[5pt] &\int x \cos x \, dx = x \sin x + \cos x + C \\[5pt] &\int x^{2} \sin x \, dx = -x^{2} \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C \\[5pt] &\int x^{2}\cos x \, dx = x^{2} \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C \end{align}

\(\bm{\tan}\) の公式

\begin{align} &\tan^{2} \theta + 1 = \frac{1}{\cos^{2}\theta} \\[5pt] &\tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \\[5pt] &\tan^{2} \Bigl( \frac{\theta}{2} \Bigr) = \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta} \\[8pt] &\tan \Bigl( \frac{\theta}{2} \Bigr) = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \end{align}