複素平面上の点 \(\alpha\) を中心とする半径 \(R\) の円を考えよう。円周上の点 \(z\) は \begin{equation} z = \alpha + R \2 e^{i\pi x/L} \4 ( R, L \gt 0 ) \label{z} \end{equation} と表現することができる。ただし、\(x\) は円周上の位置を表す実数のパラメーターである。\(z\) は \(x\) が \(2L\) 変化するごとに同じ値をとることになる。この円周の上で定義された任意の複素関数 \(f(z)\) は \begin{equation} f(z) = f( \alpha + R \2 e^{i\pi x/L} ) =: \phi(x) \end{equation} のように \(x\) の関数 \(\phi(x)\) として表すこともできる。（\(\,x\) は実数だけれど \(\phi(x)\) は一般に複素数値をとることに注意しよう。）
さて、\(\phi(x)\) は周期 \(2L\) の周期関数であるから適当な条件のもとでフーリエ級数に展開できる。\(\phi(x)\) がフーリエ級数展開可能であると仮定して複素フーリエ級数に展開してみよう： \begin{equation} \phi(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \2 e^{i\pi nx/L} \label{phi} \end{equation} ただし、フーリエ係数 \(c_{n}\) は \begin{equation} c_{n} = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} \phi(x) \, e^{-i\pi nx/L} \, dx \label{cn} \end{equation} で与えられる。このフーリエ級数展開の式を複素変数 \(z\) で表すことを考えたい。まず式\eqref{z}より \begin{equation*} e^{i\pi x/L} = \frac{z-\alpha}{R} \end{equation*} であるから、式\eqref{phi}を \(z\) で表すと \begin{equation*} f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \, \frac{c_{n}}{R^{\1n}} ( z - \alpha )^{n} \end{equation*} となる。ここで新たな展開係数 \(a_{n}\) を \begin{equation} a_{n} = \frac{c_{n}}{R^{\1n}} \label{eq} \end{equation} で定義すると \begin{equation} f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n} ( z - \alpha )^{n} \label{f} \end{equation} と書ける。次にフーリエ係数の式\eqref{cn}を \(z\) で表してみよう。複素線積分のパラメーター表示の公式 \begin{equation*} \int_{C} f(z) \, dz = \int_{a}^{b} f(z(t)) \frac{dz}{dt} dt \end{equation*} を使うために、式\eqref{z}をパラメーター \(x\) で微分する： \begin{equation*} \frac{dz}{dx} = \frac{i\pi R}{L} e^{i\pi x/L} \end{equation*} そして式\eqref{cn}を次のように変形する： \begin{align*} c_{n} &= \frac{1}{2\pi iR} \int_{-L}^{L} \phi(x) \, e^{-i\frac{\pi(n+1)}{L}x} \, \Bigl( \frac{i\pi R}{L} e^{i\pi x/L} \Bigr) \, dx \\[5pt] &= \frac{1}{2\pi iR} \int_{-L}^{L} f( \alpha + R \2 e^{i\pi x/L} ) \ e^{-i\frac{\pi(n+1)}{L}x} \frac{dz}{dx} \, dx \end{align*} ここで \(x\) から \(z\) に変数変換を行おう。\(x\) の積分区間 \([-L,L]\) は、複素平面上の円 \(|z-\alpha|=R\) を反時計回りに1周する積分路 \(C\) に移ることに注意して \begin{align*} c_{n} &= \frac{1}{2\pi iR} \oint_{C} f(z) \, \Bigl( \frac{R}{z-\alpha} \Bigr)^{n+1} dz \\[5pt] &= \frac{R^{\1n}}{2\pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z-\alpha)^{n+1}} dz \end{align*} となる。式\eqref{eq}で定義した展開係数 \(a_{n}\) は \begin{equation} a_{n} = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{f(z)}{(z-\alpha)^{n+1}} dz \label{an} \end{equation} である。式\eqref{f}と\eqref{an}の組み合わせは \(f(z)\) の点 \(\alpha\) まわりのローラン展開の公式に一致している。
以上をまとめると、半径 \(R\) の円周上で定義された関数 \(f(z)\) の円の中心まわりのローラン展開の展開係数と、\(f(z)\) を実数パラメーター \(x\) を使って表した関数 \(\phi(x)\) の複素フーリエ係数の間には式\eqref{eq}の関係がある。とくに単位円周上の関数についてはフーリエ係数とローラン展開係数が完全に一致する。