簡単な微分方程式をまじめに解く

簡単な解き方

微分方程式\eqref{eq}をまじめに積分して解いてみよう。一見簡単に積分できそうだが2階微分方程式であるために変数分離はできない。解くためにはまず式\eqref{eq}の両辺に \(dy/dx\) を掛ける。 \begin{equation*} \frac{dy}{dx} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = y \frac{dy}{dx} \end{equation*} そして両辺を \(x\) で積分すると \begin{equation*} \int \frac{dy}{dx} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} dx = \int y \frac{dy}{dx} dx \end{equation*} となる。これは置換積分によって \begin{equation*} \int y' \, dy' = \int y \, dy \5 \Bigl( y' = \frac{dy}{dx} \Bigr) \end{equation*} と変形されるから \begin{equation} \Bigl( \frac{dy}{dx} \Bigr)^{2} = y^{2} + C \5 C: \text{積分定数} \label{eq2} \end{equation} を得る。この計算では左辺と右辺で合わせて2回不定積分を行っているから積分定数も \(C_{1}\) と \(C_{2}\) の2つを書く人がいる。しかし積分定数は任意であるから \(C_{2}-C_{1}\) を改めて \(C\) と置けば積分定数は1つでよい。（というよりも1回積分しただけの今の段階では積分定数を2つ書くべきではない。）

これで1階微分方程式になったが、これをまじめに積分しようとすると結構面倒くさい。ここでは簡単のため \(C=0\) と置いて特解を求めることにする。\(C=0\) のとき式\eqref{eq2}は \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \pm y \end{equation*} となる。両辺を \(y\) で割り \(x\) で積分すると \begin{equation*} \int \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} dx = \pm \! \int dx \end{equation*} となるので左辺には置換積分を行って \begin{equation*} \log y = \pm x + D \5 D: \text{積分定数} \end{equation*} を得る。そして両辺を指数関数の肩にのせれば \begin{equation*} y = A e^{\pm x} \4 ( A = e^{D} ) \end{equation*} が求まる。この解には任意定数 \(A\) 以外に複号のどちらを選ぶかの自由度があるが、プラスを選んだ場合の解 \(e^{x}\) とマイナスを選んだ場合の解 \(e^{-x}\) は線形独立になっている。（すなわち一方を他方の定数倍で表すことはできない。心配であればロンスキー行列式を計算してみてもよい。） ところで2階微分方程式\eqref{eq}は線形微分方程式であるから、独立な2つの解の線形結合を作ればそれは一般解となる。したがって \(e^{x}\) と \(e^{-x}\) の線形結合から一般解\eqref{solution}を得る。

もう少しまじめな解き方

上ではきちんと2回積分を行って解を求めることができたが、この計算方法では少しインチキをしてるように感じる人がいるかもしれない。今度は最初から最後までインチキなしで微分方程式\eqref{eq}を解いてみよう。

方程式\eqref{eq}を直ちに積分できないのはそれが2階の微分方程式になっているからだ。これを1階微分方程式に書き換えるために \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = z \end{equation*} と置くことにしよう。このとき \(d^{2}y/dx^{2}\) は \begin{equation*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dx} = z \frac{dz}{dy} \end{equation*} と表すことができるから、式\eqref{eq}は \begin{equation*} z \frac{dz}{dy} = y \end{equation*} となる。これは変数分離形であるので直ちに積分することができて \begin{equation*} \int z \frac{dz}{dy} dy = \int y \, dy \end{equation*} より \begin{equation*} z^{2} = y^{2} + a^{2} \5 a^{2}: \text{積分定数} \end{equation*} を得る。\(z=dy/dx\) を使ってもとに戻せば \begin{equation} \Bigl( \frac{dy}{dx} \Bigr)^{2} = y^{2} + a^2 \label{eq3} \end{equation} である。

これで1階微分方程式になった。今度はまじめに、積分定数 \(a^{2}\) を残したまま計算を進めてみよう。まず最初に変換 \begin{equation*} y = a \tan \theta \end{equation*} を行う。このとき \(dy/dx\) は \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{a}{\cos^{2}\theta} \frac{d\theta}{dx} \end{equation*} であるから、式\eqref{eq3}は \begin{equation} \Bigl( \frac{d\theta}{dx} \Bigr)^{2} = \cos^{2} \theta \label{eq4} \end{equation} となる。ただし三角関数の公式 \begin{equation} \tan^{2} \theta + 1 = \frac{1}{\cos^{2}\theta} \label{trig} \end{equation} を使った。式\eqref{eq4}の平方根をとって少し変形すれば \begin{equation*} \frac{1}{\cos\theta} \frac{d\theta}{dx} = \pm 1 \end{equation*} となるから両辺を \(x\) で積分することができる（\(\,C\) は積分定数）： \begin{align*} \pm x + C &= \int \frac{1}{\cos\theta} d\theta \\[3pt] &= \int \frac{\cos\theta}{1-\sin^{2}\theta} d\theta \\[3pt] &= \int \frac{\cos\theta}{(1+\sin\theta)(1-\sin\theta)} d\theta \\[5pt] &= \frac{1}{2} \int \Bigl( \frac{1}{1+\sin\theta} + \frac{1}{1-\sin\theta} \Bigr) \cos \theta \, d\theta \end{align*} ここで積分変数の変換 \(t=\sin\theta\) を行うと \begin{align*} \pm x + C &= \frac{1}{2} \int \Bigl( \frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t} \Bigr) dt \\[3pt] &= \frac{1}{2} \bigl( \, \log(1+t) - \log(1-t) \, \bigr) \\[3pt] &= \frac{1}{2} \log \Bigl( \frac{1+t}{1-t} \Bigr) \end{align*} である。したがって \begin{align*} \pm x + C &= \frac{1}{2} \log \Bigl( \frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \Bigr) \\[3pt] &= \frac{1}{2} \log \biggl( \frac{(1+\sin\theta)^{2}}{\cos^{2}\theta} \biggr) \\[3pt] &= \log \Bigl( \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} \Bigr) \end{align*} を得る。あとは \(y=a\tan\theta\) を使って \(\theta\) を \(y\) に戻せばよい。\(e^{C}=b\) と置くことにすると \begin{equation*} b e^{\pm x} = \frac{1}{\cos\theta} + \tan \theta \end{equation*} であるが、三角関数の公式\eqref{trig}を使いたいので \(\tan\theta\) を左辺に移項し両辺を2乗する。そうすると \begin{equation*} ( b e^{\pm x} - \tan \theta )^{2} = \tan^{2} \theta + 1 \end{equation*} または \begin{equation*} b^{2} e^{\pm 2x} - 2b e^{\pm x} \tan \theta = 1 \4 \text{（複号同順）} \end{equation*} となる。最後に \(\tan\theta=y/a\) を代入して \(y\) について解けば \begin{equation*} y = \frac{ab}{2} e^{\pm x} - \frac{a}{2b} e^{\mp x} \4 \text{（複号同順）} \end{equation*} を得る。複号のどちらを選んでも同じことだが、上を選んだ場合には \(ab/2=A,\,-a/2b=B\) と置き直せば一般解\eqref{solution}が得られる。